椭圆基础题一
考点一椭圆的定义及标准方程
例1已知⊙O 1：(x ＋2) 2＋y 2＝16，⊙O 2：(x －2) 2＋y 2＝4，动圆P 与一个圆内切，一个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
[例2] 已知动圆P 过定点A (－3,0) ，并且在定圆B ：(x －3) 2＋y 2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为__________．
x 2y 2
例2已知椭圆＋1上一点P ，到其左、右两焦点距离之比为1∶3，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标．
10036
x 22
1. 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆y ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，
3
则△ABC 的周长是( ) ．
A ．3 B ．6 C ．3 D ．12
x 2y 2
2. 已知F 1、F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.
259
2
3.(2011·新课标) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为过F 1的直
2
线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．
4．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3) 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( ) x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
A. ＋1 B. ＋＝1C. 1 D. ＋1 8616684164
22y x
5. 过点(3，－5) ，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
259
考点二 焦点三角形问题
x 2y 2→→
1. 已知F 1，F 2是椭圆C ：1(a ＞b ＞0) 的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2. 若△PF 1F 2的面积
a b
为9，则b ＝________.
x 2y 2
2. 设F 1，F 2是椭圆＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )
4924
A ．30 B ．25C ．24 D ．40
x 2y 2
3. P 为椭圆＋1上任一点，F 1、F 2为左、右焦点，如图所示．
2516
1
(1)若PF 1的中点为M ，求证：|MO |＝5－PF 1|；
2
(2)若∠F 1PF 2＝60°，求|PF 1|·|PF 2|的值．
22x y
4. 椭圆＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B . 当△F AB 的周
43
长最大时，△F AB 的面积是________．
x 2y 2
5. 椭圆＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；
92
∠F 1PF 2的大小为__________．
x 2y 2→
6. 已知F 1、F 2是椭圆C ＋＝1(a ＞b ＞0) 的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥
a b
→
PF 2. 若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 考点三椭圆的几何性质
x 2y 2
例1. 椭圆Γ：＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c ) 与椭圆Γ的一个交
a b
点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
x 2y 24
1．椭圆＋1k 的值为( )
94＋k 5
1919
A ．－21 B ．21C ．－或21 D. 或21
2525
22x y 3a
2. 设F 1，F 2是椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝F 2PF 1是底角为30°的等腰三
a b 2
角形，则E 的离心率为(
) ．
1234A. B. C. D. 2345
考点四 椭圆的中点弦问题
x 2y 23
例题：设椭圆C ：1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为a b 5
(1)求C 的方程；
4
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标．
5
（2013·大纲）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点, 过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点, 且 AB =3,则C 的方程为 ( )
x 2x 2y 2x 2y 2x 2y 22
+y =1B. +=1C. +=1D. +=1 A. 2324354
（2013·广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0) ，离心率等于
22222222
A ．x +y =1B ．x +y =1C ．x +y =1 D ．x +y =1
42433441
，则C 的方程是（） 2
x 2y 2
（2013·新课标Ⅰ）已知椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的右焦点F (3, 0) ，过点F 的直线交E 于A ，B 两
a b
点，若AB 的中点坐标为(1, -1) ，则E 的方程为（）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1B. +=1 C. +=1D. +=1 A.
[**************]
x 2y 2
（2013·新课标Ⅰ）已知椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的右焦点F (3, 0) ，过点F 的直线交E 于A ，B 两
a b
点，若AB 的中点坐标为(1, -1) ，则E 的方程为（）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 B. +=1C. +=1 D. +=1 A.
[**************]
x 2y 2
（2013·新课标全国Ⅱ）设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2，P 是C 上的点，
a b
PF 2⊥FF =30，则C 的离心率为（）
12，∠PFF 12
11A. B. C.
D.
6332
x 2y 2
（2013·四川）从椭圆2+2=1(a >b >0) 上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正
a b
半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB //OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）
A.
1
B.
C.
D. 4222
x 2y 2
（2013·辽宁）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点, 连接AF,BF.
a b
4
, 则C 的离心率为 ( ) 5
3546A. B. C. D. 5757
若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=
x 2y 2
(2013·江苏) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2+2=1(a >0, b >0) ，右焦点为F ，右
a b
准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2
=6d 1，则椭圆
C 的离心率为
x 2y 2
(2013·福建) 相椭圆Γ:2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1,F 2, 焦距为2c. 若直线
x +c )与椭圆
a b
Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1, 则该椭圆的离心率等于.
x 2y 2
（2013·辽宁）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A , B 两点，连接
a b
AF , BF . 若AB =10, AF =6, cos ∠ABF =
4
，则C 的离心率e =____. 5
（2013·上海）设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA =之间的距离为 .
π
4
. 若AB=4，BC=
2，则Γ的两个焦点
x 2y 2
（2012·新课标全国高考理科·Ｔ4同文科·Ｔ4）设F 1，F 2是椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直
a b
3a
线x ＝上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )
2
1234A. B. C. D. 2345
（2013·陕西）已知动点M (x , y ) 到直线l :x =4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (1)求动点M 的轨迹C 的方程;
(2) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.
x 2y 2
=1的焦点在x 轴上 （2013·安徽）设椭圆E :2+
a 1-a 2
（Ⅰ）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设F 1, F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线F 2P 交，证明：当变化时，点F 1P ^FQ 1
y 轴与点Q ，并且
a
p 在某定直线上。
x 2y 2（2013·天津）设椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ,
, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截
a b
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若AC ·DB +AD ·CB =8, 求
k 的值.
2x 2y 2
（2012·北京）已知椭圆C 1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为直线y ＝k (x －1) 与椭圆C 交于
a b 2
不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；
(2)当△AMN 的面积为
10
时，求k 3
椭圆基础题一
考点一椭圆的定义及标准方程
例1已知⊙O 1：(x ＋2) 2＋y 2＝16，⊙O 2：(x －2) 2＋y 2＝4，动圆P 与一个圆内切，一个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程．
[例2] 已知动圆P 过定点A (－3,0) ，并且在定圆B ：(x －3) 2＋y 2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为__________．
x 2y 2
例2已知椭圆＋1上一点P ，到其左、右两焦点距离之比为1∶3，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标．
10036
x 22
1. 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆y ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，
3
则△ABC 的周长是( ) ．
A ．3 B ．6 C ．3 D ．12
x 2y 2
2. 已知F 1、F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.
259
2
3.(2011·新课标) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为过F 1的直
2
线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．
4．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3) 是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( ) x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
A. ＋1 B. ＋＝1C. 1 D. ＋1 8616684164
22y x
5. 过点(3，－5) ，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
259
考点二 焦点三角形问题
x 2y 2→→
1. 已知F 1，F 2是椭圆C ：1(a ＞b ＞0) 的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2. 若△PF 1F 2的面积
a b
为9，则b ＝________.
x 2y 2
2. 设F 1，F 2是椭圆＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )
4924
A ．30 B ．25C ．24 D ．40
x 2y 2
3. P 为椭圆＋1上任一点，F 1、F 2为左、右焦点，如图所示．
2516
1
(1)若PF 1的中点为M ，求证：|MO |＝5－PF 1|；
2
(2)若∠F 1PF 2＝60°，求|PF 1|·|PF 2|的值．
22x y
4. 椭圆＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B . 当△F AB 的周
43
长最大时，△F AB 的面积是________．
x 2y 2
5. 椭圆＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；
92
∠F 1PF 2的大小为__________．
x 2y 2→
6. 已知F 1、F 2是椭圆C ＋＝1(a ＞b ＞0) 的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥
a b
→
PF 2. 若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 考点三椭圆的几何性质
x 2y 2
例1. 椭圆Γ：＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c ) 与椭圆Γ的一个交
a b
点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
x 2y 24
1．椭圆＋1k 的值为( )
94＋k 5
1919
A ．－21 B ．21C ．－或21 D. 或21
2525
22x y 3a
2. 设F 1，F 2是椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝F 2PF 1是底角为30°的等腰三
a b 2
角形，则E 的离心率为(
) ．
1234A. B. C. D. 2345
考点四 椭圆的中点弦问题
x 2y 23
例题：设椭圆C ：1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为a b 5
(1)求C 的方程；
4
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标．
5
（2013·大纲）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点, 过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点, 且 AB =3,则C 的方程为 ( )
x 2x 2y 2x 2y 2x 2y 22
+y =1B. +=1C. +=1D. +=1 A. 2324354
（2013·广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0) ，离心率等于
22222222
A ．x +y =1B ．x +y =1C ．x +y =1 D ．x +y =1
42433441
，则C 的方程是（） 2
x 2y 2
（2013·新课标Ⅰ）已知椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的右焦点F (3, 0) ，过点F 的直线交E 于A ，B 两
a b
点，若AB 的中点坐标为(1, -1) ，则E 的方程为（）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1B. +=1 C. +=1D. +=1 A.
[**************]
x 2y 2
（2013·新课标Ⅰ）已知椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的右焦点F (3, 0) ，过点F 的直线交E 于A ，B 两
a b
点，若AB 的中点坐标为(1, -1) ，则E 的方程为（）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 B. +=1C. +=1 D. +=1 A.
[**************]
x 2y 2
（2013·新课标全国Ⅱ）设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1, F 2，P 是C 上的点，
a b
PF 2⊥FF =30，则C 的离心率为（）
12，∠PFF 12
11A. B. C.
D.
6332
x 2y 2
（2013·四川）从椭圆2+2=1(a >b >0) 上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正
a b
半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB //OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）
A.
1
B.
C.
D. 4222
x 2y 2
（2013·辽宁）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点, 连接AF,BF.
a b
4
, 则C 的离心率为 ( ) 5
3546A. B. C. D. 5757
若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=
x 2y 2
(2013·江苏) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2+2=1(a >0, b >0) ，右焦点为F ，右
a b
准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2
=6d 1，则椭圆
C 的离心率为
x 2y 2
(2013·福建) 相椭圆Γ:2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1,F 2, 焦距为2c. 若直线
x +c )与椭圆
a b
Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1, 则该椭圆的离心率等于.
x 2y 2
（2013·辽宁）已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A , B 两点，连接
a b
AF , BF . 若AB =10, AF =6, cos ∠ABF =
4
，则C 的离心率e =____. 5
（2013·上海）设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA =之间的距离为 .
π
4
. 若AB=4，BC=
2，则Γ的两个焦点
x 2y 2
（2012·新课标全国高考理科·Ｔ4同文科·Ｔ4）设F 1，F 2是椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直
a b
3a
线x ＝上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )
2
1234A. B. C. D. 2345
（2013·陕西）已知动点M (x , y ) 到直线l :x =4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍. (1)求动点M 的轨迹C 的方程;
(2) 过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A , B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.
x 2y 2
=1的焦点在x 轴上 （2013·安徽）设椭圆E :2+
a 1-a 2
（Ⅰ）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设F 1, F 2分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆E 上的第一象限内的点，直线F 2P 交，证明：当变化时，点F 1P ^FQ 1
y 轴与点Q ，并且
a
p 在某定直线上。
x 2y 2（2013·天津）设椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为F ,
, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截
a b
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若AC ·DB +AD ·CB =8, 求
k 的值.
2x 2y 2
（2012·北京）已知椭圆C 1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为直线y ＝k (x －1) 与椭圆C 交于
a b 2
不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程；
(2)当△AMN 的面积为
10
时，求k 3